|
|
電路的基礎(chǔ)有三個方程，它們是KVL、KCL和歐姆定律（廣義形式U = Z I）。就算是那些半導(dǎo)體電子器件，多半也是采用適當(dāng)?shù)牡葍r模型變成電路中的基本理想元件的組合。是否有人懷疑過那幾個方程的合理性？它們來自何方？下面將從場中找到它們的根。
先給出場的八個基本方程。不熟悉者可找《電磁學(xué)》查閱。
Maxwell 微分方程(一般形式)
▽?D = ρ
▽?B = 0
▽╳E = - dB/dt
▽╳H = J + dD/dt
連續(xù)性方程
▽?J = - dρ/dt
本構(gòu)關(guān)系(constitutive relationships)
J = σE
B = μH
D = εE
這八個方程，構(gòu)成了電磁場的基石。這些方程中只有六個是獨立的基本方程（其他兩個可被導(dǎo)出），選擇如下六個基本方程：
法拉第電磁感應(yīng)定律
▽╳E = - dB/dt
安培全電流定律
▽╳H = J + dD/dt
連續(xù)性方程
▽?J = - dρ/dt
本構(gòu)關(guān)系
J = σE
B = μH
D = εE
若介質(zhì)為簡單介質(zhì)（均勻、線性、各向同性），則有限定形式如下
▽╳E = - dB/dt
▽╳B = μJ + μεdE/dt
▽?J = - dρ/dt
J = σE
利用高斯散度定理和斯托克斯旋度定理，可得積分方程
∮E?dl = - d(∫B?ds)/dt = - dΦ/dt
∮B?dl = μ∫J?ds + μεd(∫E?ds)/dt = μI + μεdΨ/dt
∮J?ds = d(∫ρdv)/dt = dQ/dt
J = σE
至此，得到了四個電磁學(xué)基本方程。它們從微觀到宇觀，從靜態(tài)到γ波段都得到了充分的實驗驗證。是目前無可挑剔的基本物理規(guī)律。
下面在此基礎(chǔ)上，建立KVL，KCL和歐姆定律：
一，KVL
基于法拉第電磁感應(yīng)定律（積分形式）
∮E?dl = - d(∫B?ds)/dt = - dΦ/dt
沿電路作環(huán)路積分，若有電感則沿電感線圈中的導(dǎo)線作環(huán)路。
現(xiàn)在作兩個假設(shè)（即近似）：
1）假設(shè)導(dǎo)線為理想導(dǎo)體，即電阻率為零。
2）假設(shè)導(dǎo)線為等勢體，通常波長比導(dǎo)線長一個數(shù)量級以上就可以近似認為成立。
由此假設(shè)，上式的左邊積分在導(dǎo)線內(nèi)將為零。環(huán)路積分變成了形式ΣUk，其中UK為除電感以外環(huán)路中各器件的電勢差（電壓）。
現(xiàn)在再考察等式的右邊。將磁鏈分成兩部分，其一為穿過電感線圈，其二是穿過電路中的環(huán)路，表為 - dΦ1/dt – dΦ2/dt。則方程變成：
ΣUk = - dΦ1/dt – dΦ2/dt
現(xiàn)在再作進一步近似，認為dΦ2/dt 很小，可以忽略（通常低頻下是可行的）。再移項可得：
ΣUk + dΦ1/dt = 0
這就是KVL，其中dΦ1/dt表示電感上的電勢差（電壓）。
二，KCL
基于連續(xù)性方程（積分形式）
∮J?ds = d(∫ρdv)/dt = dQ/dt
作一個封閉曲面包含電路節(jié)點。顯然，絕緣體介質(zhì)中電流密度為零，上式左邊變成ΣIk，其中IK為某一導(dǎo)線支路電流。現(xiàn)在作一個近似，認為節(jié)點處（曲面內(nèi)）對外無位移電流，即dQ/dt近似為零。便得：
ΣIk = 0
此乃KCL
三，歐姆定律
不難由J = σE，得到I = U / R。至于I = U / Z，不妨可自己利用前面的基本場方程導(dǎo)出電容和電感的表達形式。
至此，從場方程中經(jīng)適當(dāng)?shù)募僭O(shè)或近似推導(dǎo)出了電路中的基本方程。從中可以看出電路的基礎(chǔ)和局限。從而也應(yīng)該知道，在什么條件下需要改造電路中的基本方程以適應(yīng)特殊的情況。
交流地址：http://bbs.21ic.com/forum.php?mo ... st%3D1%26digest%3D1 |
|
